Treinamento das ESN

Jaeger (2002) apresenta informalmente os princípios das ESN mostrando como treinar uma rede neural para gerar uma onda senoidal:

A onda desejada é dada por . Esta tarefa não envolve entrada, portanto teremos uma rede sem nenhuma entrada, e com uma única saída que após o treinamento produzirá . O sinal "professor" é uma seqüência de 300 passos de .

Inicialmente é construída uma rede recorrente com 20 neurônios, cujos pesos das conexões internas  são inicializados com valores aleatórios e não muda durante o treinamento. Esta rede é chamada de "reservatório dinâmico". Os neurônios são sigmoidais com função de ativação .

Essa construção usando valores aleatórios para  poderia fazer com que a rede apresentasse um comportamento oscilatório ou mesmo caótico, e isso não é o desejado. A solução é usar valores baixos para , quanto mais baixos esses pesos, mais a rede tende a converger para um estado zero iniciando a partir de qualquer estado arbitrário. Assumimos então uma inicialização de  com valores baixos, a Figura 1 mostra o gráfico da saída dos 20 neurônios quando iniciados com um valor aleatório .

Figura 1. Dinâmica dos neurônios no reservatório dinâmico.

Adicionamos um único neurônio de saída para este reservatório. Esta saída tem conexões que projetam de volta para o reservatório. A estas retroprojeções são atribuídos pesos aleatórios , que também são fixos e não mudam durante o treinamento. O neurônio de saída é linear.

As únicas conexões que são modificadas durante o aprendizado são as do reservatório para o neurônio de saída, cujos pesos são dados por . Esses pesos não são definidos nem usados durante o treinamento. A Figura 2 mostra a rede preparada para o treinamento.

Figura 2. Configuração da ESN para treinar o gerador de ondas senoidais

O treinamento é feito em duas etapas: amostragem e computação de pesos. Veremos estas duas etapas a seguir.

Amostragem

Durante a fase de amostragem, o sinal professor é na unidade de saída para os tempos . A rede é iniciada no passo  com um estado arbitrário (aqui usaremos o estado zero). O sinal professor  é bombeado no reservatório através das conexões de retroprojeção  e, portanto estimula uma dinâmica de ativação dentro do reservatório. A Figura 3 mostra o que acontece dentro do reservatório nos passos .

Figura 3. As saídas de cada um dos 20 neurônios do reservatório induzidas por um sinal professor  no neurônio de saída (último gráfico).

Neste ponto é importante observar que os padrões de ativação dentro do reservatório são periódicos, cujos períodos têm a mesma freqüência do sinal professor, e que estes padrões diferem um dos outros dentro do reservatório.

Durante o período de amostragem, os sinais internos  para são coletados nas linhas de uma matriz  de tamanho 200x20. Ao mesmo tempo, as saídas do professor  são coletadas nas linhas de uma matriz de tamanho 200x1.

Não são coletados dados de , porque nesses passos iniciais a dinâmica da rede é parcialmente determinada pelos estados iniciais arbitrários. No passo  é seguro afirmar que os efeitos da inicialização arbitrária já desapareceram e que os estados da rede são determinados apenas por  como mostrado na Figura 3.

Computação de Pesos

Agora chegou a hora de computar os 20 pesos de saída  para nosso neurônio linear de saída  tais que a saída do professor  seja aproximada como uma combinação linear das séries de ativação internas  por

.

De maneira mais específica , computamos os pesos  tais que o erro de treinamento quadrático médio

é minimizado.

Do ponto de vista matemático esta é uma tarefa de regressão linear, que consiste em computar os pesos de regressão  para uma regressão de  nos estados da rede  com

De um ponto de vista intuitivo-geométrico, isto significa combinar os 20 estados internos vistos na Figura 3 de forma que a combinação resultante melhor aproxime o sinal do professor visto na mesma figura (o último).

E finalmente do ponto de vista algorítmico, a computação offline dos pesos de regressão equivalem a computar uma pseudoinversa: os pesos desejados que minimizam  são obtidos multiplicando a pseudoinversa de  com :

.

Computar a pseudoinversa de uma matriz é uma operação padrão na álgebra linear. Neste exemplo, o erro de treinamento com os pesos ótimo foi . Uma vez calculados os pesos, estes são inclusos na rede, a qual estará pronta para uso.

Utilização

Após os pesos de saída serem escritos nas conexões de saída, a rede foi executada por mais 50 passos, continuando do último estado de treinamento , porém agora a saída do professor não será mais utilizada. Dessa forma a saída da rede  passa a ser gerada pela própria rede treinada.

O erro de teste:

foi encontrado , que é maior que o erro de treinamento, mas ainda bastante pequeno, mostrando que a rede aprendeu a gerar a onda senoidal de forma precisa.

            É possível afirmar, portanto, que o sinal  é obtido através de seus próprios ecos .

Para mostrar que a estabilidade obtida não está no fato de os passos avaliados começarem em , que é gerado pela saída do professor, Jaeger (2002) inicializa a rede treinada a partir de um estado arbitrário, e mesmo assim após alguns passos ela se estabiliza no sinal desejado, conforme mostrado na Figura 4.

Figura 4. Iniciando a rede treinada a partir de um estado aleatório. O gráfico mostra as primeiras 50 saídas.

Bibliografia

H. Jaeger (2002): Tutorial on training recurrent neural networks, covering BPTT, RTRL, EKF and the "echo state network" approach. GMD Report 159, German National Research Center for Information Technology, 2002 (48 pp.)